В 2001 году окончил МССМШ им. Гнесиных (класс заслуженной артистки России, доцента МГК им. П.И. Чайковского Т.С. Беркуль).

В 2006 году окончил Московскую консерваторию им. П.И. Чайковского (класс народного артиста СССР Э.Д. Грача), в 2009 – аспирантуру. В этом же году С.В. Елизаров стал артистом Государственного академического симфонического оркестра России имени Е.Ф. Светланова под управлением Владимира Юровского.

С 2011 года Семен Витальевич преподает скрипку в МССМШ (колледже) им. Гнесиных. Большое количество своего свободного времени С.В. Елизаров уделяет Дубненскому симфоническому оркестру, где с 2000 г. выступает как солист и концертмейстер оркестра.